增加了百分之几、降低了百分之几：到底除谁，为什么升 20% 再降 20% 回不到原点

「增加了百分之几」这类题，算式永远只有一个形状：先求出相差多少，再拿这个差去除以「比」字后面那个量。孩子错，九成不是除不动，而是把差除给了错的那个数。 更要紧的是后半句：谁当除数，是题目里的字决定的，不是孩子觉得哪个数大就用哪个。

我见过太多这样的场面。孩子把作业本推过来：「苹果 120 千克，梨 96 千克，第一小问我算苹果比梨多 25%，第二小问梨比苹果少，我也写 25%，老师给我打了个叉，是不是判错了？」你拿起笔想给他讲，讲了两句发现自己也有点绕——同一组数字，凭什么两个答案不一样？

不是判错了。这两问的除数确实不是同一个数。下面从这里开始拆。

一、算式的形状只有一个：差 ÷ 基准

「A 比 B 多百分之几」，翻成算式是：

（A − B）÷ B

「B 比 A 少百分之几」，翻成算式是：

（A − B）÷ A

看出来了吗？分子都是那个差，一模一样；变的是分母。谁在「比」字后面，谁就当除数。这个当除数的量，就是课本上说的单位 1。

为什么是它？因为这句话本来的意思是「多出来的那部分，相当于它的多少」。「苹果比梨多百分之几」，问的是多出来的 24 千克相当于梨的多少，所以拿梨去除；「梨比苹果少百分之几」，问的是少的那 24 千克相当于苹果的多少，所以拿苹果去除。同一个 24 千克，一次贴在 96 上量，一次贴在 120 上量，量出来的比例当然不同。

我教孩子的时候只让他做一个动作：读到「比」字，停一下，用铅笔在「比」后面那个词底下点一个点。那个点下面的量，就是除数。 别的什么都先别想。这个动作练熟了，这一类题的错误能掉掉一大半。

顺一句：如果题目说「A 是 B 的百分之几」，那是另一个形状，直接 A ÷ B，不用求差。带「了」字的（增加了、降低了、多了、少了）才求差。这一点后面还会讲到，因为它是混淆的重灾区。

二、一组数字，完整算给你看

就用上面那组：苹果 120 千克，梨 96 千克。四个问法，一步一步算。

第 1 问：苹果比梨多百分之几？

第一步，求差：120 − 96 = 24（千克）。 第二步，找除数：「比梨」，除数是 96。 第三步，相除：24 ÷ 96 = 0.25。 第四步，化成百分数：0.25 = 25%。

答：苹果比梨多 25%。

第 2 问：梨比苹果少百分之几？

第一步，求差：120 − 96 = 24（千克）。差没变。 第二步，找除数：「比苹果」，除数是 120。 第三步，相除：24 ÷ 120 = 0.2。 第四步：0.2 = 20%。

答：梨比苹果少 20%。

所以第一问 25%、第二问 20%，两个答案都对，一点不矛盾。你甚至可以带孩子倒着验一遍：梨 96 千克，多 25% 就是 96 × 1.25 = 120，正好是苹果；苹果 120 千克，少 20% 就是 120 × 0.8 = 96，正好是梨。两头都对得上，孩子心里就服了。

第 3 问：苹果的重量是梨的百分之几？

不求差，直接除：120 ÷ 96 = 1.25 = 125%。

答：是梨的 125%。

把第 1 问和第 3 问摆在一起看：25% 和 125%，差了整整一个 100%。这不是巧合——两问都拿梨当基准，「多百分之几」只算多出来的那部分，「是百分之几」把梨本身那一份也算进去了，所以正好多一个 100%。注意这条只在两问基准相同时成立，第 1 问和第 4 问就不能这么对。这个关系可以当检查工具用：孩子算完「多百分之几」，让他顺手报一句「那也就是梨的 125%」，两个数能对上，说明基准没找错。

第 4 问：梨的重量是苹果的百分之几？

96 ÷ 120 = 0.8 = 80%。

再对照第 2 问的 20%：80% + 20% = 100%，也对得上。少 20%，就是剩下 80%。

四问算完，孩子该看清一件事了：这四个问题用的是同两个数，答出四个不同的百分数，靠的全是读题读准。这一类题的难点从来不在计算，在语文那一层——「比谁」和「是谁的」，一个字读漏，全盘皆错。想再练一遍读题定量的功夫，可以看看应用题画图法，把两个量画成一长一短两条线段，多出来的那一截贴在谁身上量，一眼就看明白了。

再看一对一字之差：「增加了」和「增加到」。 这一对是我见过最容易吃分的地方，因为孩子读题只抓数字，虚词全滑过去了。

增加了 20%：增加的部分是原来的 20%，结果是原来的 1 + 20% = 120%。原来 500，现在是 500 × 1.2 = 600。

增加到 20%：结果就是原来的 20%。原来 500，现在是 500 × 0.2 = 100。

一个变大，一个变小，只差一个字。同理，「降低了 30%」剩下 70%，「降低到 30%」剩下的就是 30%。

分辨的办法不用记规则，记这层意思就行：「了」管的是变化的那一部分，「到」管的是最后停在哪。 让孩子读题时把这个字读重一点，读出声来，比默读靠谱得多。

多数教材把「增加百分之几、减少百分之几」这类问题放在六年级的百分数单元，具体排在上册还是下册、和折扣成数是否同一单元，各版本不一样，以孩子手上那本课本为准。所以孩子几年级碰到它不重要，重要的是碰到时基准这一关有没有过。

三、为什么升 20% 再降 20% 回不到原点

这是本篇最反直觉的一点，也是孩子最爱错的一点。先算。

一件商品 100 元。先涨 20%：100 × （1 + 20%）= 100 × 1.2 = 120（元）。再降 20%：120 × （1 − 20%）= 120 × 0.8 = 96（元）。

96 元，比原来的 100 元少了 4 元，也就是少了 4 ÷ 100 = 4%。

关键在于：两次的 20%，不是同一个 20%。 涨的那次，20% 是拿 100 算的，涨了 20 元；降的那次，20% 是拿 120 算的，降了 24 元。基准换了，同一个百分数代表的实际钱数就不一样。孩子觉得该回到 100，是因为他心里把百分数当成了固定的钱数——像「加 20 元再减 20 元」那样。百分数不是钱数，它是个比例，比例得配上基准才有大小。这一层理解，回头看百分数的意义那一篇会更透。

顺序换一下呢？先降 20% 再涨 20%：100 × 0.8 = 80，80 × 1.2 = 96。还是 96。

为什么两种顺序结果相同？把式子写出来就明白了：1.2 × 0.8 = 0.96，0.8 × 1.2 也是 0.96，乘法交换律而已。合起来看，一升一降同一个百分数 p，最后剩下 (1 + p) × (1 − p)，只要 p 不是 0，这个乘出来就一定比 1 小，小的那一点正好是 p × p。验一下：p = 20% 时 0.2 × 0.2 = 0.04，剩 96%，少 4%，和上面算的一致。p = 10% 时，1.1 × 0.9 = 0.99，少 1%；p = 50% 时，1.5 × 0.5 = 0.75，少 25%——涨一半再跌一半，只剩四分之三，跌得比很多人预想的狠。

再往下一步，问题就有意思了：要真的回到原点，该涨多少、降多少？

降 20% 后是 80，要回到 100，得涨 20 ÷ 80 = 0.25 = 25%。 涨 20% 后是 120，要回到 100，得降 20 ÷ 120 ≈ 0.167，约 16.7%。

同样是 100 和 120 这两个数之间来回，上去要 20%，下来只要约 16.7%，因为上去时除的是 100，下来时除的是 120。除数变大，比例就小。这一问答对了，说明孩子真的把基准这件事想通了，而不是背了个套路。

如果孩子对「除数大结果就小」这一点没感觉，可以顺手补一补比和比例的基础，百分数说白了就是把比写成分母 100 的样子。

和折扣题的分工，顺手说清。 如果你看过折扣和成数应用题那一篇，会觉得两篇有点像，其实分工很清楚。折扣篇的主线是正着算——已知原价和折扣求现价，动作是乘；已知现价和折扣倒推原价，动作是除；那里的百分数多半是题目直接给你的（八折就是 80%），偶尔要你回头算一次「相当于打几折」，那也是拿现价直接除以原价，不用求差。这一篇讲的是另一种问法——两个具体的量摆在面前，问的是「多了多少比例、少了多少比例」，百分数要你自己算，而且必须先求差再除。一句话记：给了百分数求量，用乘；给了两个量问「是几折、是百分之几」，直接除；给了两个量问「多了、少了百分之几」，差 ÷ 基准。两篇的共同命门是同一个——那个基准（单位 1）到底是谁。搞清这个，两类题一起通；搞不清，两类题一起塌。

四、孩子最容易错在哪，家长最容易误解什么

错法一：差除给了大数（或除给了差本身）。 为什么会错——中文里「多」字前后两个量挨得近，孩子按语序抓最近的那个数，或者干脆按习惯拿大数当除数（受了「大数除小数」的旧经验影响）。还有一种是把 24 ÷ 96 写成 96 ÷ 24。治法只有一个：先点「比」后面的词，再落笔。

错法二：两个百分数直接相加减。 「先涨 20% 再降 20%，一共怎么变」，孩子写 20% − 20% = 0。为什么会错——他把百分数当成了同类的量在加减，就像 20 元减 20 元。可这两个 20% 挂在不同的基准上，不是同类，不能直接算。这一条和折扣题里「打八折再打九折不等于打七折」是同一个病根。

错法三：「增加了」当成「增加到」。 为什么会错——虚词不带数字，孩子的注意力全在数字上，读题时「了」和「到」在他脑子里是同一个音节的噪声。让他读出声、把这个字读重，是最省事的办法。

错法四：算出「减少了 130%」还照抄上去。 为什么会错——他只是在机械执行「差 ÷ 某数」，没想过结果的合理范围。在小学接触的这类题里，一个量减少的百分数不会超过 100%（减完最多减到 0，减不出负的东西来）；但增加的百分数可以随便超过 100%，涨到三倍就是增加了 200%。这个界限可以当自查线：一看减少的答案超过 100%，回头查除数。

错法五：除不尽就慌，或者随手抹掉。 为什么会错——20 ÷ 120 除不尽，孩子没见过这种收尾。教他先约分：20/120 约成 1/6，再看题目要求保留几位，写成约 16.7% 并写上「≈」。约分这一步不熟，题就卡在这儿了，可以回去补分数的约分和通分。

家长最容易误解的三件事：

一是把「不会百分数」当成「计算差」。其实很多孩子 24 ÷ 96 算得挺利索，坏在读题定基准。你要是给他加练计算题，练的是他本来就会的那部分，错的地方一次没碰到，做得再多也不见长进。

二是急着告诉他「用小的那个除」。有时候小的那个恰好是对的，孩子记住这个假规律，换个问法就翻车。规律要建在意思上，不能建在大小上。

三是以为一遍讲通就算过了。这类题的坑是语言坑，语言坑要靠反复读同一组数字的不同问法才踩得实。讲通了当天全对，隔一周照样错，这很正常，不必觉得白讲。

五、在家怎么练，十分钟就够

第一天到第三天：一组数字，四个问法（每天 8 分钟）。 你随口给两个数，比如「哥哥存了 150 元，弟弟存了 120 元」。让孩子依次回答：哥哥比弟弟多百分之几、弟弟比哥哥少百分之几、哥哥是弟弟的百分之几、弟弟是哥哥的百分之几。四问一组，一天一组就够。这组的答案你先自己核一遍：差是 30，30 ÷ 120 = 0.25 = 25%；30 ÷ 150 = 0.2 = 20%；150 ÷ 120 = 1.25 = 125%；120 ÷ 150 = 0.8 = 80%。

每天开头 60 秒：只说不算。 你念题，孩子只回答一句「谁当除数」，不许动笔，也不许报答案。这一步是专门练读题的，答对了立刻下一题，节奏要快。念五道，一分钟能过完。

第四天：动手做那个「回不到原点」的实验（10 分钟）。 拿张纸写 100，让孩子自己涨 20% 写成 120，再降 20% 算出 96。算完你问三句话：为什么不是 100？两次的 20% 分别是拿谁算的？要从 96 回到 100 该涨百分之几？（96 × ? = 100，差 4，4 ÷ 96 ≈ 0.042，约涨 4.2%。）第三问算不出来不要紧，能说清前两问就算过关。

第五天：去超市练一道真题（不占额外时间）。 看到「原价 45 元，现价 36 元」的标签，让孩子当场说：降了百分之几？差 9 元，9 ÷ 45 = 0.2 = 20%。真实的价签比作业本管用，因为他能摸到那个「原来」是谁。

如果卡在算不动上：先把整数除法的手感补回来。 有些孩子不是不懂道理，是 24 ÷ 96 这种要盯半天，一盯就把前面想通的思路忘了。这种情况下每天花五分钟做点纯整数的口算，把速度提起来，脑子才有余力想基准。可以用口算练习卷生成器选好题量、最大数值和运算类型，打印一张让他做五分钟——注意它出的是整数题，不出分数、小数和带括号的混合运算，所以它只解决手感这一层，读题定基准那一层还得靠上面那些问答练。

错了怎么办？ 别急着让他重做十道。把错题抄下来，在错的那一步旁边写一句话：「除数应该是梨（比梨）」。一周攒下来你会发现错因高度集中，往往就是同一个动作没做。归类的具体做法可以参考错题分类方法。

六、最后说一句

这一类题真正难的不是数学，是把一句中文准确翻成一个算式。孩子读题时那半秒的停顿——停下来找「比」后面是谁——练出来了，题就散了。练不出来，讲一百遍公式也是空的。

也不必太着急。百分数增减这块内容，很多孩子要在两三个月里反复碰上几轮才彻底稳住，中间某一次单元测考砸了，多半只说明基准这个动作还没变成习惯，不说明他学不会这块。你能做的就是每天那十分钟，让他在纸上多点几个点，多说几句「我拿谁除」。这件事枯燥，但它是真管用的那一件。