中位数和众数怎么用：平均数被极端值拉偏时该看哪个数

**一组数里只要冒出一个特别大或特别小的数，平均数就会被它拽走，这时候能代表”大多数人什么水平”的是中位数，而能回答”哪一种最常见”的是众数。**这三个数不是难度递进的三个知识点，而是三把用途不同的尺子。孩子把公式背得再熟，只要不知道该拿哪把尺子，题目一换问法他就懵。

孩子把作业本推过来，指着一道题问”这里到底算平均数还是中位数”，你多半也犯过一秒钟的迟疑。这篇就把这一秒钟解决掉。

平均数本身的坑我另写过一篇，讲它为什么容易被误读、小学阶段该讲到哪一步，可以配合看 平均数为什么会骗人：小学阶段能讲到哪一步。那篇的落点是”看到平均数要多问一句”，这篇往前走一步：问完之后，换哪个数、怎么换、怎么跟孩子说。

一、先把三句话记住，比记公式管用

平均数是把所有数凑到一起再平分，回答的是”如果人人一样多，每人会是多少”。

中位数是把数从小到大排好队，站在正中间那个位置上的数，回答的是”排在中间的那个人是什么水平”。

众数是出现次数最多的那个数，回答的是”最常见的是哪一种”。

三句话里藏着三个动作：平均数要算，中位数要排，众数要数。孩子做题卡住，八成是动作做错了——该排队的时候他去加总，该数次数的时候他去排队。你辅导时不必先讲概念，先问他：“这道题要你算、要你排，还是要你数？”

关于进度：多数教材把平均数放在四年级前后，中位数和众数安排在小学高年级到初中衔接这一段，不同教材版本进度不同，以孩子课本为准。如果孩子课本里还没出现中位数，你不用急着往前赶，把下面第五节里”排队找中间”的口头游戏当生活常识玩一玩就够了。

二、同一组数，三个结果一步步算给你看

我们用一组好懂的数据：某个小组 9 个同学一周的零花钱（单位：元）。

原始数据（还没排队的样子）：10、5、20、10、130、15、10、5、20。

第一步：算平均数。

先加起来，一步一步来：

• 10 + 5 = 15
• 15 + 20 = 35
• 35 + 10 = 45
• 45 + 130 = 175
• 175 + 15 = 190
• 190 + 10 = 200
• 200 + 5 = 205
• 205 + 20 = 225

总数是 225 元，一共 9 个人，平均数 225 ÷ 9 = 25（元）。

第二步：找中位数。

先排队，从小到大：5、5、10、10、10、15、20、20、130。

数一数是 9 个数，位置是奇数个，正中间只有一个坑。中间位置怎么找？(9 + 1) ÷ 2 = 5，也就是第 5 个数。

从左边数过去：第 1 个是 5，第 2 个是 5，第 3 个是 10，第 4 个是 10，第 5 个是 10。

中位数是 10 元。

第三步：找众数。

数每个数出现了几次：5 出现 2 次，10 出现 3 次，15 出现 1 次，20 出现 2 次，130 出现 1 次。次数最多的是 10。

众数是 10 元。

现在把三个数摆在一起看：平均数 25，中位数 10，众数 10。

差得离谱吧。问题出在那个 130 上。你回头看排好队的数据：5、5、10、10、10、15、20、20、130——低于 25 元的是 5、5、10、10、10、15、20、20，一共 8 个人；高于 25 元的只有 130 这 1 个人。九个人里有八个人的零花钱低于”平均数”。这种时候说”这个小组平均每人一周 25 元零花钱”，虽然算式没错，但听的人很容易误会。

第四步：把那个 130 拿掉再算一次，你会看得更清楚。

去掉 130 之后剩 8 个数：5、5、10、10、10、15、20、20。

• 总数：225 − 130 = 95，平均数 95 ÷ 8 = 11.875，约等于 11.9 元。
• 中位数：8 个数是偶数个，中间没有单独一个坑，是两个数并排——第 4 个和第 5 个，也就是 10 和 10。把这两个数求平均：(10 + 10) ÷ 2 = 10。中位数还是 10 元。
• 众数：10 仍然出现 3 次，还是 10 元。

一个数据一去掉，平均数从 25 掉到 11.9，掉了一半多；中位数和众数一动不动。**这就是中位数最值钱的地方：它不理会两头的极端值，只认队伍中间的位置。**孩子如果只记住一句话，记这一句。

顺便把偶数个数据的算法也交代清楚。再看一组：8 个同学的立定跳远成绩（单位：厘米）：120、125、130、132、135、140、142、150。

已经排好队了，8 个数，中间两个是第 4 个（132）和第 5 个（135），中位数 = (132 + 135) ÷ 2 = 267 ÷ 2 = 133.5（厘米）。

这里出现小数很正常，中位数不一定是数据里原本有的那个数。孩子在这儿常会不敢写小数，你告诉他：中间两个人一人一半，答案带小数是应该的。如果算出来除不尽，看题目要求保留几位，取近似的规矩可以复习 四舍五入求近似数怎么教：看哪一位、往哪儿舍、约等号别写成等号。

三、什么时候用哪个：三条能当场用的判断

第一条：想知道”整体总量怎么摊”，用平均数。

全班一共交了多少本书、摊到每人几本；一周一共走了多少步、摊到每天多少步。这类问题的关键就是”总数和份数的关系”，平均数天生就是干这个的。它有个别的数替代不了的本事：平均数乘以份数，能还原出总数。中位数和众数做不到这一点。

第二条：数据里有明显偏离大部队的数，用中位数。

判断标准不用多复杂，你把数排成一队看一眼：绝大多数挤在一小段里，只有一两个跑到很远的地方，那就是被拉偏了。这时候中位数更能代表”一般水平”。像上面那个 130，一个人就把九个人的平均数抬起来一大截。

生活里这样的数据很多：一个小区的房价、一个班级的课外阅读时长（总有一个孩子一周读十本）、一次比赛的用时（总有人中途鞋带开了）。孩子将来在新闻里看到”中等收入""中位价格”这类说法，根子就在这儿。

第三条：数据不是用来算的，而是用来分类的，用众数。

班里最多人穿的鞋码是多少、最多人选的兴趣班是哪个、这个月哪种天气出现得最多。这类问题算平均数根本没意义——把鞋码加起来除以人数得出的那个数，谁也穿不上。学校采购校服、店家备货，看的都是众数。

众数还有两个特点得跟孩子说明白，不然他做题会慌：

• **众数可能不止一个。**比如一周七天做同一份口算卷的用时（分钟）：6、6、7、7、8、9、22。6 出现 2 次，7 也出现 2 次，其余各 1 次，那么 6 和 7 都是众数。
• **众数也可能没有。**如果一组数里每个数都只出现一次，就没有哪个数”最常见”，这时说没有众数是对的。

顺着上面那组用时数据往下算一下，也挺有意思：总用时 6 + 6 = 12，12 + 7 = 19，19 + 7 = 26，26 + 8 = 34，34 + 9 = 43，43 + 22 = 65，平均 65 ÷ 7 ≈ 9.3 分钟。中位数是排队后的第 4 个数，也就是 7 分钟。那天用了 22 分钟是因为中间被打断了。你要评估孩子的真实速度，看 7 分钟这个中位数比看 9.3 分钟的平均数靠谱得多。

四、孩子最容易错在哪，家长最容易误解什么

错法一：找中位数时忘了先排队。

题目给的数据往往是乱的，孩子直接盯着中间那个位置抄一个数就写上去。为什么会错？因为在他的经验里，“中间”是个位置词，看一眼就知道，用不着动手。他没意识到中位数的定义里”从小到大排列”这半句和”中间”那半句一样重要，少了前半句，后半句就是空的。纠正办法很直接：让他把排好的队重新抄一行在题目下面，再圈中间那个。抄这一行的三十秒，能救回一整类题。

错法二：偶数个数据，随手挑一个当中位数。

比如 8 个数，他挑第 4 个或第 5 个就交卷。为什么会错？因为奇数个数据练得多了，他形成的印象是”中位数就是从数据里挑一个出来”。偶数个的时候中间是两个数，得再求一次平均，这一步在他的动作库里没有。你可以让他画一下：8 个格子，从两头往里同时划掉一个，划到最后剩下两个格子并排——看见那两个格子，他就明白为什么要求平均。

错法三：数众数时靠眼睛扫，不做记号。

数据一多，他扫两遍，两遍数出来的次数还不一样。为什么会错？不是不会，是没有方法。数次数这件事必须留痕：数一个就在数字上画一道，或者在旁边列一张小表（数字一列、次数一列）。这个习惯迁移性很强，以后数图形、数因数都用得上。

家长误解一：以为中位数总比平均数”更准”。

不是准不准的问题，是问题不同。要还原总量、要按份数分配，平均数才是对的；要描述”中间那个人的水平”，中位数才是对的。碰上问”这些书一共多少本”，你抱着中位数是算不出来的。

家长误解二：以为出现极端值就该把它删掉。

删数据是很严肃的事。上面第四步去掉 130 只是为了给你看”平均数有多敏感”，不是说做题时可以随便删。那 130 元本身是真实发生的，它自己就是有用的信息。正确的做法是换一个不受它影响的指标（中位数），或者把它单独指出来说明情况，而不是把它抹掉。这一点值得跟孩子讲清楚，比多做五道题重要。

家长误解三：着急给孩子上”什么时候用哪个”的判断题。

这个判断需要见过足够多的例子才建立得起来，讲道理讲不出来。孩子刚学的阶段，能把三个数正确算出来就是达标。判断力靠日常聊天里一点点攒，不靠一晚上讲透。

五、在家怎么练：一周五天，每天十分钟以内

周一（约 8 分钟）：只练排队和找中间。

随便写 7 个两位数在纸上，让孩子排好队、圈出中位数，做 3 组。再写 6 个数，做 2 组偶数个的。全程不算平均数，只练这一个动作。你问他两句话：“你排好了吗？""一共几个数，中间在第几个？”

周二（约 8 分钟）：只练数众数。

拿家里现成的东西数：一周的天气记录、鞋柜里的鞋码、一副扑克抽 15 张记点数。要求他画记号或列小表，说出众数是哪个、出现几次。故意留一组每个数只出现一次的，看他敢不敢答”没有众数”。

周三（约 10 分钟）：三个数一起算，用真实数据。

这天用得上一份真数据。你可以用口算练习卷生成器给孩子生成几张同规格的口算卷——题量、最大数值、运算类型（加减乘除或混合）都能自己选，打印出来就能做。每天记一张的用时，攒够 5 到 7 天，让孩子把这组用时的平均数、中位数、众数各算一次，然后问他：“你觉得哪个数最能说明你现在的速度？为什么？”

他大概会说中位数，因为总有一天状态不好。这个回答比任何讲解都实在。想同时把数据记录变成看得见的东西，就把 7 天用时画成 7 根高矮不同的柱子，那根特别高的柱子一眼就能看出来——它对应的就是被拉偏平均数的那个极端值。画之前先跟孩子说清纵轴一格代表几分钟，这一步怎么带孩子看，可以参考 条形统计图怎么读：先看纵轴一格代表多少。

周四（约 6 分钟）：只做判断，不做计算。

你口头说场景，他答该看哪个数，一次说 5 个。可以这么说：

• 校服要按尺码备货，看哪个数？（众数）
• 三箱苹果一共多少斤，要摊到每箱多少斤，看哪个数？（平均数）
• 一个班的课外阅读时长，有个孩子一周读了 12 本，想说清”一般孩子读多少”，看哪个数？（中位数）
• 这个月最常见的天气是什么，看哪个数？（众数）
• 全家一周走了多少步，想说清”每天大概走多少”，看哪个数？（平均数）

答错不讲道理，只把上一条的例子再说一遍让他自己改。

周五（约 5 分钟）：他讲，你听。

让孩子拿周三那组数据，讲给你听：三个数分别是多少，为什么不一样，他更愿意用哪个。你只负责在他说卡住的地方问”然后呢”。孩子能讲出来才算真会，这个道理在数感培养里也一样，可以参考 数感是什么、怎么养：为什么光刷题养不出来。

一周下来累计不到 40 分钟，比周末突击两小时有用。

六、最后一点分寸话

中位数和众数这两个概念，难的从来不是算法——排队、数次数，这两个动作低年级孩子稍加提醒也做得下来。难的是知道一个问题该用哪把尺子量，这属于判断力，是要靠年头攒的。

所以孩子这次单元测在”该用中位数还是平均数”上丢了分，你不必当成大事。真正需要留意的，是他连排队都不排就写答案这类动作缺失，那是习惯问题，纠起来快，也值得纠。至于什么时候该用哪个数，你在饭桌上聊房价、聊班里谁的鞋码最多、聊这周谁做题最快的时候，他会慢慢长出来。

你自己遇到不确定的地方，也大方跟孩子说”这个我得翻翻他课本”。你查证的样子，他会记得比公式久。