质数与合数：1既不是质数也不是合数，20以内质数8个怎么记牢

孩子把作业本推过来，指着一道题：「1是质数还是合数？」你大概会顿一下。**记住这一句就够了：质数恰好有两个因数，合数有三个或更多因数，而1只有一个因数（就是它自己），所以它两边都进不去，单独站着。**这不是出题人故意刁难，也不是什么约定俗成的怪规定，而是从定义里自然掉出来的结果——只要你把定义盯在「因数有几个」上，而不是背成「只能被1和自己除」这种半句话，孩子就不会年年在这里翻车。

因数与倍数这一块，多数教材放在五年级前后，不同教材版本进度不同，以孩子课本为准。真正卡人的地方也不是概念多难，而是孩子上一单元的因数与倍数没打牢，判断一个数是不是质数时除法算得磕磕巴巴，于是把「算不出来」误当成「除不尽」，一个合数就这么被放过去了。

一、定义要盯在「因数个数」上，不要背半句话

先把话说准。我们讨论质数合数，范围是大于1的自然数。在这个范围里：

只有两个因数的数，叫质数（也叫素数）。这两个因数一定是1和它本身，因为任何数都能被1整除，也都能被自己整除。比如7，把1到7都试一遍，能整除7的只有1和7，一共两个，7是质数。

因数超过两个的数，叫合数。 比如4，因数是1、2、4，三个；比如12，因数是1、2、3、4、6、12，六个。它们除了1和自己，还能被别的数整除，所以是合数。

让孩子养成一个动作：判断一个数，就把它的因数一个一个写出来，写成一排，然后数个数。这个动作比记口诀重要得多。

数	把因数全写出来	几个	结论
1	1	1个	既不是质数也不是合数
2	1、2	2个	质数
4	1、2、4	3个	合数
9	1、3、9	3个	合数
13	1、13	2个	质数
15	1、3、5、15	4个	合数

顺着这张表往下看，最小的质数是2，最小的合数是4——中间的3是质数，1被排除，所以合数从4起步。有孩子会答「最小的合数是2」或者「最小的质数是1」，都是没数因数个数留下的后遗症。

二、1为什么非要单独站着

孩子会不服气：1不是只能被1和它自己整除吗？那不正好符合质数吗？

问题在于，对1来说，「1」和「它自己」是同一个数。它的因数写出来就一个：1。数一数是1个，不是2个，所以质数的门槛它不够。合数要求三个以上，它更不够。两边都不收，只能单独一类。

如果你想给孩子一个更有说服力的理由，可以讲讲把1算成质数会捅出什么乱子。把一个数拆成质数相乘（分解质因数），本来答案是唯一的：6只能拆成2×3。可要是1也算质数，6就能写成1×2×3，还能写成1×1×2×3，再多几个1也行，写法没完没了，「唯一」就没了。数学上把1请出质数的队伍，是为了保住这份唯一性。

孩子听不懂唯一性没关系，你就说：1这个数太特殊了，它乘谁都不改变谁，把它放进质数里，后面的题就没法做了，所以数学家给它单独安排了一个位置。孩子对「特殊待遇」这个说法接受度很高。

顺带提一句0。小学阶段讨论质数合数都是从2起步的，0一般不参与这个分类，孩子在课本上碰不到「0是质数还是合数」这种问法，不用替他提前操心。

三、完整算一遍：91和97到底是什么

这一节请你陪孩子照着算，每一步都别跳。很多孩子判断质数靠眼缘，眼缘一旦不准就全错，靠的应该是一套固定的试除顺序。

先算91。

第一步，试2。91的个位是1，是奇数，不能被2整除。

第二步，试3。用各位数字加起来判断：9+1=10，10不能被3整除，所以91也不能被3整除。

第三步，试5。个位不是0也不是5，不能被5整除。

第四步，试7。做除法：91÷7。7×10=70，91－70=21，21÷7=3，所以商是10+3=13，正好除完没有余数。回头乘一遍核对：7×13=7×10+7×3=70+21=91，对上了。

91=7×13，因数有1、7、13、91，四个。91是合数。 这个数是判断题里的常客，因为它长得像质数——不是偶数，不是5的倍数，数字和也不被3整除，只有试到7才露馅。

再算97。

第一步，试2：奇数，不行。

第二步，试3：9+7=16，16不能被3整除，不行。

第三步，试5：个位是7，不行。

第四步，试7：7×13=91，97－91=6，余6，除不尽。

到这里能不能停？能。这里有一个省力气的道理，值得跟孩子说明白：假设97能拆成两个数相乘，比如97=a×b，那这两个数不可能都大于10，因为10×10=100，已经超过97了。所以小的那一个必定不超过9。只要把不超过9的质数——2、3、5、7——全试完都不行，就不必再往上试了。

所以97是质数，它的因数只有1和97两个。

把这个道理用上，判断100以内的数只需要试2、3、5、7四个，绝不用一路除到底。孩子一旦知道有终点，抵触情绪会小很多。你可以让他把这四个数写在草稿纸角上，判断一个数就照着划一遍。

顺手拆两个孩子最爱错的：

51：5+1=6，6能被3整除，所以51能被3整除。51÷3=17，核对3×17=51。51=3×17，是合数。

57：5+7=12，12能被3整除。57÷3=19，核对3×19=57。57=3×19，也是合数。

51和57被认成质数的次数，可能比91还多。原因就是孩子不习惯用「数字和判断3的倍数」这一招，光看长相。

四、20以内的8个质数，两条路记牢

20以内的质数是：2、3、5、7、11、13、17、19，一共8个。

第一条路是念出来。按2个一组的节奏读：「二三、五七，十一十三、十七十九。」每天早晚各读两遍，读一周就黏住了。读的时候一定要读8个，孩子最常漏的是2（觉得偶数不该是质数）和19（读到17就收尾了）。

第二条路是筛出来，这条路更值钱，因为它能推广到50以内、100以内。做法是把1到20写成两行：

 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

先把1圈掉扔出去（它两边都不算）。留下2，把2的倍数全划掉：4、6、8、10、12、14、16、18、20。留下3，把3的倍数划掉：9、15（6、12、18已经划过了）。留下5，5的倍数是10、15、20，三个都已经划过了。留下7，20以内7的倍数只有14，也划过了。划完剩下的就是2、3、5、7、11、13、17、19。

这里顺带让孩子留意一件事：从5开始，每一轮要划的数都已经被前面划光了。这不是巧合——因为5×2、5×3已经在2和3那两轮里划掉了，而5×5=25已经超出20的范围。所以20以内的筛，实际起作用的只有2和3两轮。换成50以内的表，就轮到5和7也开始有活干（5×5=25、7×7=49这两个数只有到自己那一轮才会被划掉）。

这个筛的过程孩子自己动手做一遍，比看你演示十遍都管用。做完再让他做一遍1到50的，会一下子明白为什么质数越往后越稀。

十几里的记法有个小便宜： 11到19中的奇数是11、13、15、17、19，五个里面只有15不是质数（15=3×5）。也就是说，十几里的质数就是「奇数去掉15」。这个说法孩子一听就记住，也顺手解释了为什么15老被认成质数——它周围全是质数，它混在里面不显眼。

需要提醒的是，这个便宜只在十几这一段成立，二十几、三十几不能照搬（21=3×7、27=3×9、33=3×11 都是合数）。别让孩子把它当成通用规律，不然到50以内就全乱了。

五、孩子最容易错在哪，家长最容易误解什么

错法一：把1当质数。 为什么会错？因为孩子背的是「只能被1和它本身整除」，而1恰好满足这句话的字面意思。根子在于这句话没说清「1和它本身是两个不同的数」。改法是把定义换成数因数个数，让他动手写出因数再数。

错法二：认为偶数都不是质数，2被冤枉了。 为什么会错？孩子从「质数大多是奇数」这个印象里，自己加工出了「质数都是奇数」的结论。这是从多数情况反推全部造成的。你可以反问他：2的因数写出来是哪几个？他写完1、2，两个，自己就推翻了。2是唯一的偶质数，这一点值得让他单独记一笔。

错法三：认为奇数都是质数。 为什么会错？和上一条是同一个毛病的另一面。9、15、21、25、27、33、35、49这些数全是奇数，也全是合数。让孩子把这八个数各自拆一遍（9=3×3，25=5×5，49=7×7，35=5×7，21=3×7，27=3×9，33=3×11，15=3×5），拆完印象就深了。

错法四：判断时除法算错，把合数当质数。 为什么会错？这不是概念问题，是计算硬度不够。孩子心里怕除法，试到7就含糊过去了。这种情况光讲概念没用，得先把除法练顺，可以让他集中练几天有余数的除法，练顺了判断题的正确率会跟着抬起来。

家长最容易误解的一点： 以为这一节是纯记忆题，让孩子把20以内质数背下来就算过关。实际上考题很少直接问「20以内质数有哪些」，更多是藏在后面：求最大公因数、约分、分解质因数，都要用判断质数这个动作。孩子如果只会背那8个，一碰到51、91、117这种数就停摆。所以判断的方法（试2、3、5、7，用数字和判3的倍数）比那张名单更要紧。

还有一个常见误解： 觉得孩子说不出定义就是没学会。有些孩子判断题全对，让他复述定义却磕磕巴巴。这时候不必急着纠正他的语言，先听他讲怎么判断的——如果他说「我看它除了1和它自己还能不能被别的数除」，其实理解到位了，只是表述不够利索。多让他讲讲自己的思路，说几次就顺了。

六、在家怎么练：每天五分钟，一周排好

这一节可以照着做，不用改。

第一天（约10分钟）： 陪孩子画1到20的筛表，自己动手划。划完让他把剩下的8个数抄在便利贴上，贴在书桌上。当天不做判断题，只做这一件事。

第二到四天（每天5分钟，8道题）： 你随口报数，他答质数还是合数，答完必须追加一句理由。题目从这一批里挑：15、17、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39。要求他的回答格式是「合数，因为它能被3整除」或者「质数，试过2、3、5、7都不行」。只答对错不给理由的，算没答。

追问的话术给你两句现成的：一句是「你怎么知道它不是质数？说出它除了1和自己还能被谁整除」；另一句是「你试到几就停了？为什么可以停」。第二句尤其重要，能逼出他对试除上界的理解。

第五、六天（每天5分钟，6道题）： 上难度，只挑长得像质数的合数：49、51、57、77、87、91。这六个数全是合数，但先别告诉他答案是清一色的，让他自己一个个拆。拆完你再说：这六个我一个质数都没放，你抓出来几个？这一步做完，孩子对「不能靠眼缘」会有真切体会。

第七天（约8分钟）： 让他做1到50的筛表，和第一天的20以内对照，数一数50以内有多少个质数（答案是15个）。做完这一遍，这个知识点基本就稳了。

除法不熟怎么补： 判断质数的底子是除法算得快且准。孩子如果试到7就卡住，先别加判断题的量，抽两三天用口算题生成器出几张除法口算卷，自己设题量和最大数值，打印出来限时做。这类练习不出分数题、不出小数题、不出带括号的混合运算，正好是判断质数需要的那种纯整数除法。同时把乘法口诀倒着背顺，看到91能直接想到7×13，判断速度会快一大截。

结尾

这个知识点的分量，不在那8个数，而在两个动作：把因数写出来数个数，以及按2、3、5、7的顺序试除并知道什么时候可以停。这两个动作扎稳了，1为什么被排除、2为什么是质数、9和15为什么是合数，都不用单独记。

如果孩子这两天还是把1说成质数，或者判断51时犹犹豫豫，不必着急上火。这一块的理解往往要跟后面的约分、分解质因数一起磨，磨过两三个单元才真正长在身上。你今天能做的，就是让他别再背半句定义，改成动手写因数、动手划筛表——方法对了，剩下的交给时间。